Добавлено: Сб Сен 22, 2007 6:02 am Заголовок сообщения: Конкурс Мега-логик
Собственно здесь обсуждается эта задача. Страничка конкурса - www.mega.kengyry.com
Цитата:
Исходная задача.
1) Каждому из трех математиков писали на лбу натуральное число, причем одно из этих чисел являлось суммой двух других, и сообщили им об этом. Математик не видит, что написано у него на лбу, но видит, что написано у других. Первый сказал, что не может догадаться, какое число написано у него на лбу. После этого то же самое сказал второй математики, а затем и третий. Тогда первый сказал: «Я знаю, что у меня на лбу написано число 50». Какие числа написаны у двух остальных? (См. журнал «Математика в школе», № 3, 2007 г.)
Сопутствующие задачи. Предлагается рассмотреть ряд вопросов, возникающих вместе с этой задачей. Для начала введем несколько обозначений и понятий. Первого, второго и третьего математиков будем называть А, В и С соответственно, а соответствующие три числа, написанных у них на лбах будем представлять упорядоченной тройкой (a, b, c). Тройку назовем допустимой, если все ее элементы – натуральные числа, и недопустимой в противном случае. Ходом назовем ответ любого из математиков; кругом назовем последовательность трех ходов, соответствующей ответам А, В и С (кругов может быть несколько: первый, второй, третий и т.д.). Тройку назовем разрешимой, если за конечное количество ходов кто-то из математиков сможет догадаться, какое число написано у него на лбу (т.е. ему будет известна вся тройка), в противном случае тройку будем называть неразрешимой. Аналогично определим тройки, разрешимые и(или) неразрешимые за k ходов. Тройку назовем метаразрешимой, если не только какой-то из математиков, но и мы (назовем нас наблюдателями) сможем определить тройку, даже не имея полной информации (например, пункте 1) мы заранее знаем только одно число – 50).
2) Укажите все тройки, разрешимые за один ход (т.е. первым же ответом А).
3) Укажите все тройки, разрешимые за два хода (т.е. первым ответом В).
4) Укажите все тройки, разрешимые за три хода (т.е. первым ответом С).
1.2) Мог ли на четвертом ходу математик А сказать, что у него на лбу написано число 20? Мог ли он сказать (на четвертом ходу), что у него на лбу число 49? Могли бы мы (т.е. наблюдатели) назвать при этом оставшиеся числа, тройки?
1.3) Может ли математик А узнать свое число, если оно трехзначное? А если четырехзначное?
5) Последние вопросы напрямую связаны с таким: всегда ли разрешимая тройка является метаразрешимой? Если нет, то попробуйте указать условия, при которых разрешимая тройка является метаразрешимой.
6) Попробуйте описать множества разрешимых и неразрешимых троек (или хотя бы условия, которым они удовлетворяют). Тот же вопрос для метаразрешимых троек.
Обобщающие задачи. Попробуйте исследовать другие свойства рассматриваемых троек чисел, а также обобщить задачу в следующих, например, направлениях:
7) А если математики могут по своему усмотрению менять порядок ответов (например, А,В,С,В,А,…, или по другому). Могут они при этом упростить или ускорить игру?
8 ) Можно ли придумать аналогичную игру для четырех и более математиков?
Добавлено: Сб Сен 22, 2007 5:21 pm Заголовок сообщения: Re: Конкурс Мега-логик
собственно исходный случай для МЕТАразрешимого числа 50 понятен. у остальных математиков числа 20 и 30. и это объясняется следующим образом: первый математик смотрит на своих товарищей и видит числа 20 и 30 и думает, у меня либо сумма (50) либо разность (10), допустим что у меня разность, тогда ВТОРОЙ логик видит числа 10 и 20 (своего числа 30 он ведь не видит) и думает, у меня либо разность либо сумма, но ведь если бы была разность то у меня было бы 10 и еще у одного математика 10, тогда третий сразу бы сказал что у него 20, но он этого не сделал. следовательно у первого математика не разность, а сумма чисел... вот так вот.
Добавлено: Вс Ноя 11, 2007 12:12 am Заголовок сообщения: Re: Конкурс Мега-логик
[quote="admin"]Собственно здесь обсуждается эта задача. Страничка конкурса - www.mega.kengyry.com
Цитата:
Исходная задача.
1) Каждому из трех математиков писали на лбу натуральное число, причем одно из этих чисел являлось суммой двух других, и сообщили им об этом. Математик не видит, что написано у него на лбу, но видит, что написано у других. Первый сказал, что не может догадаться, какое число написано у него на лбу. После этого то же самое сказал второй математики, а затем и третий. Тогда первый сказал: «Я знаю, что у меня на лбу написано число 50». Какие числа написаны у двух остальных? (См. журнал «Математика в школе», № 3, 2007 г.)
Сопутствующие задачи. Предлагается рассмотреть ряд вопросов, возникающих вместе с этой задачей. Для начала введем несколько обозначений и понятий. Первого, второго и третьего математиков будем называть А, В и С соответственно, а соответствующие три числа, написанных у них на лбах будем представлять упорядоченной тройкой (a, b, c). Тройку назовем допустимой, если все ее элементы – натуральные числа, и недопустимой в противном случае. Ходом назовем ответ любого из математиков; кругом назовем последовательность трех ходов, соответствующей ответам А, В и С (кругов может быть несколько: первый, второй, третий и т.д.). Тройку назовем разрешимой, если за конечное количество ходов кто-то из математиков сможет догадаться, какое число написано у него на лбу (т.е. ему будет известна вся тройка), в противном случае тройку будем называть неразрешимой. Аналогично определим тройки, разрешимые и(или) неразрешимые за k ходов. Тройку назовем метаразрешимой, если не только какой-то из математиков, но и мы (назовем нас наблюдателями) сможем определить тройку, даже не имея полной информации (например, пункте 1) мы заранее знаем только одно число – 50).
2) Укажите все тройки, разрешимые за один ход (т.е. первым же ответом А).
3) Укажите все тройки, разрешимые за два хода (т.е. первым ответом В).
4) Укажите все тройки, разрешимые за три хода (т.е. первым ответом С).
1.2) Мог ли на четвертом ходу математик А сказать, что у него на лбу написано число 20? Мог ли он сказать (на четвертом ходу), что у него на лбу число 49? Могли бы мы (т.е. наблюдатели) назвать при этом оставшиеся числа, тройки?
1.3) Может ли математик А узнать свое число, если оно трехзначное? А если четырехзначное?
5) Последние вопросы напрямую связаны с таким: всегда ли разрешимая тройка является метаразрешимой? Если нет, то попробуйте указать условия, при которых разрешимая тройка является метаразрешимой.
6) Попробуйте описать множества разрешимых и неразрешимых троек (или хотя бы условия, которым они удовлетворяют). Тот же вопрос для метаразрешимых троек.
Обобщающие задачи. Попробуйте исследовать другие свойства рассматриваемых троек чисел, а также обобщить задачу в следующих, например, направлениях:
7) А если математики могут по своему усмотрению менять порядок ответов (например, А,В,С,В,А,…, или по другому). Могут они при этом упростить или ускорить игру?
8 ) Можно ли придумать аналогичную игру для четырех и более математиков?
[/quote]
Решений несколько: это может быть и "20 и 30", "40 и 10", "25 и 25"... И многое другое. Посудите сами: 1-ый математик - x; 2-ой математик - y; 3-ий математик - 50, и это "50" равно: или x/y, x*y, x+y, x-y.
Добавлено: Сб Ноя 17, 2007 4:15 am Заголовок сообщения:
Вообще-то я с Mather не согласна. Если бы у двух других было написаны числа 25 и 25, он бы сразу сказал, что у него за число, да и другие числа тоже не подходят. Я пока думаю над этой МЕГАЗАДАЧЕЙ, как закончатся районные олимпиады, думаю попробовать еще раз.
Добавлено: Вт Ноя 20, 2007 12:35 am Заголовок сообщения: Решил
Решил и доказал. Но решение скажу попозже - такая же задача сейчас дана на другой олимпиаде и не хочу публиковать решение раньше того времени, как она пройдет.
В декабре.
Добавлено: Вс Дек 02, 2007 2:42 am Заголовок сообщения: Re: Решил
[quote="Grinch"] Решил и доказал. Но решение скажу попозже - такая же задача сейчас дана на другой олимпиаде и не хочу публиковать решение раньше того времени, как она пройдет.
В декабре.[/quote]
А решение одно или несколько а то у мну тож чето получается да вариантов чересчур много...
Добавлено: Вт Дек 11, 2007 4:21 pm Заголовок сообщения: Решение
Решение также было опубликовано мною на Девятом Минском Турнире Юных Математиков.
Решение.
Исходная задача
1. На 4 ходу игрок A угадывает число 50. Определить два других числа.
Распишем все тройки, разрешимые за 4 хода, количество видов таких троек 6:
(а)3m,2m,m; (б)3m,m,2m; (в)4m,3m,m; (г)4m,m,3m; (д)5m,2m,3m; (е)8m,3m,5m; (m=1,2,3,…)
Из них только тройка (д) соответствует искомой тройке, поскольку только в этой тройке отгаданное число 50 кратно первому коэффициенту, т.е. соответствует 4 ходу. Здесь m=10, поэтому числа искомой тройки - 50,20,30
Ответ: 50,20,30 - именно в таком порядке
Примечание: тройка 50,30,20 не является решением, т.к. она угадывается лишь на 7-м ходу.
Сопутствующие задачи
2) Укажите все тройки, разрешимые за один ход (т.е. первым ответом А).
Ответ: 2m,m,m (m=1,2,3,…)
3) Укажите все тройки, разрешимые за два хода (т.е. первым ответом B).
За 2 хода решаются тройки вида m,2m,m, а также тройки, сводимые (см. пункт “Дополнительное исследование”) к 1 ходовым тройкам, в которых наибольшее число стоит на втором месте.
Ответ: m,2m,m; 2m,3m,m (m=1,2,3,…)
4) Укажите все тройки, разрешимые за три хода (т.е. первым ответом C).
Это тройки вида m,m,2m, а также тройки, сводимые (см. пункт “Дополнительное исследование”) к 1 и 2-ходовым тройкам, в которых наибольшее число стоит на 3 месте.
Ответ: m,m,2m; m,2m,3m; 2m,m,3m; 2m,3m,5m; (m=1,2,3,…)
1.2) Мог ли на четвертом ходу математик А сказать, что у него на лбу написано число 20? Мог ли он сказать (на четвертом ходу), что у него на лбу число 49? Могли бы мы (наблюдатели) назвать при этом оставшиеся числа тройки?
Ответ: На четвертом ходу игроком A угадываются тройки вида:
(а)3m,2m,m; (б)3m,m,2m; (в)4m,3m,m; (г)4m,m,3m; (д)5m,2m,3m; (е)8m,3m,5m; (m=1,2,3,…)
Число 20 может быть угадано на 4-м ходу, поскольку оно кратно первым коэффициентам в тройках (в), (г) и (д), поэтому 4-ходовыми решениями могут быть именно эти тройки, при этом сторонний наблюдатель не сможет точно назвать оставшиеся числа тройки, поскольку таких троек несколько.
Число 49 не может быть угадано на 4 ходу, поскольку оно не кратно ни одному из первых коэффициентов ни в одной из 4-ходовых троек.
1.3) Может ли математик А узнать свое число, если оно трехзначное? А если четырехзначное?
Ответ – Да. Например: 4-ходовые –5,2,3; 10,4,6; 50,20,30;…; 505,202;303;…; 5005,2002,3003;…
5) Последние вопросы напрямую связаны с таким: всегда ли разрешимая тройка является метаразрешимой? Если нет, то попробуйте указать условия, при которых разрешимая тройка является метаразрешимой.
Не все разрешимые тройки метаразрешимы. См. пункт “Дополнительное исследование”.
6) Попробуйте описать множества разрешимых и неразрешимых троек (или хотя бы условия, которым они удовлетворяют). Тот же вопрос для метаразрешимых троек.
См. пункт “Дополнительное исследование”.
Обобщающие задачи.
Попробуйте исследовать другие свойства рассматриваемых троек чисел, а также обобщить задачу в следующих, например, направлениях:
7) А если математики могут по своему усмотрению менять порядок ответов (например, А, В, С, В, А... или по другому). Могут они при этом упростить или ускорить игру?
Ответ: Не всегда. Например, в тройке 1,1,2 игрок C сразу может назвать свое число. Но в некоторых тройках для правильного решения необходимы ответы всех игроков по-порядку и в нескольких циклах.
8) Можно ли придумать аналогичную игру для четырех и более математиков?
Ответ: Да, это возможно. См. пункт “Дополнительное исследование”.
Для n игроков,
1-ходовые группы – (n-1)m, m, m, …, m
2-ходовые группы – m, (n-1)m, m, …, m
(n-1)m, (2n-3)m, m, …, m.
3-ходовые группы – m, m, (n-1)m, m, …, m
(n-1)m, m, (2n-3)m, m, …, m
m, (n-1)m, (2n-3)m, m, …, m
(n-1)m, (2n-3)m, (4n-7)m, m, …, m
... ... ... ... ... ... ... ... ...
Дополнительное исследование.
В качестве примера, для тройки (50,20,30), заданной в исходной задаче, можно привести корректное, но громоздкое решение:
Логика игрока A:
У меня либо 10, либо 50. Мой отрицательный ответ на 1 ходу информирует игроков B и C, что их числа не равны между собой. Игрок B на 2 ходу не может определить свое число 20, поскольку у него есть альтернатива: (80 или 20), если у меня 50, или (40 или 20), если у меня 10, поэтому отрицательный ответ игрока B информирует меня и игрока C, что наши числа не равны между собой. Если бы у меня было 10, то игрок C на 3 ходу мог бы определить свое число 30, исключив для себя альтернативу 10 согласно предыдущему утверждению о неравенстве моего числа и числа игрока C. Получив отрицательный ответ игрока C на 3 ходу, я на 4 ходу определяю свое число 50, исключив альтернативу 10. Сразу после этого игрок B готов назвать свое число 20, а игрок C готов назвать свое число 30.
Возможно другое решение – по описанной ниже методике определить разрешимые тройки, имеющие решение за заданное количество ходов и сравнить с заданной. Если заданная тройка совпадает с
одной из полученных троек, то заданная тройка имеет решение за соответствующее количество ходов.
Разрешимые тройки. В простейших тройках (2m,m,m), (m,2m,m), (m,m,2m), соответственно имеющих очевидные 1,2,3-ходовые решения, последовательно заменяем коэффициенты суммой двух других коэффициентов, получаем новые тройки:
из 1-ходовой (2m,m,m) получаем 2-ходовую (2m,3m,m) и 3-ходовую (2m,m,3m);
из 2-ходовой (m,2m,m) получаем 4-ходовую (3m,2m,m) и 3-ходовую (m,2m,3m);
из 3-ходовой (m,m,2m) получаем 4-ходовую (3m,m,2m) и 5-ходовую (m,3m,2m).
Из только что полученных троек получаем новые тройки:
из 2-ходовой (2m,3m,m) получаем 4-ходовую (4m,3m,m) и 3-ходовую (2m,3m,5m) ...
из 3-ходовой (m,2m,3m) получаем 4-ходовую (5m,2m,3m) … и т.д. (*)
Метаразрешимые тройки. Полученные разрешимые тройки упорядочиваются в группы по количеству ходов разрешения. В каждой группе выделяются тройки единственного вида при заданном одном из чисел тройки с учетом позиции этого числа (A,B,C) или единственного вида, к которому принадлежит заданная тройка – заданное число кратно соответствующему коэффициенту в единственной тройке среди троек, разрешимых для заданного количества ходов. Например, число 50 в исходной задаче кратно коэффициенту (5) только в одной из возможных троек, угадываемых на заданном 4 ходу.
Есть еще одно решение – по описанной ниже методике построить цепь сведения и по ней определить количество ходов.
СВЕДЕНИЕМ тройки x,y,z назовем тройку x',y,z, при x=Max(x,y,z) и x'=|y-z|.
Тогда тройка x',y',z – сведение тройки x',y,z, при y=Max(x',y,z) и y'=|x'-z|,
тройка x',y',z' – сведение тройки x',y',z, при z'=|x'-z|,
тройка x'',y',z' – сведение тройки x',y',z', при x''=|y'-z'|,
…
2m,m,m или m,2m,m или m,m,2m, где m=1,2,3,…
Таким образом, любая исходная тройка сводится к одной из простейших, 1,2 или 3-ходовых.
ЦЕПЬЮ СВЕДЕНИЯ заданной тройки назовем последовательность числовых троек, первая из которых – заданная, а каждая последующая - есть сведение предыдущей.
Количество ходов решения заданной тройки определяется по цепи сведения.
Задача игроков - построить цепь сведения, рассчитать количество ходов, необходимых для определения тройки. Если по прошествии этого количества ходов никто из соперников не угадает своего числа, то игроку становится ясно, что у него не разность, а сумма чисел его соперников.
Решение любой заданной тройки чисел осуществляется игроками при помощи цепи сведения.
Игрок, число которого равно сумме чисел других игроков, определяет свое число первым, остальные игроки определяют свои числа сразу после него.
Пример 1. Определить количество ходов решения для тройки (50-20-30)
Цепь сведения и логическая формула решения:
A
0 50-20-30 if (!С) a=50; else a=10; // 4
1 10-20-30 if (!B) c=30; else c=10; // 3
2 10-20-10 if (!A) b!=c; // 2
Словесная формула решения:
A не ответит на 1 ходу, исключив равенство для B и C,
тогда на 4 ходу A назовет 50, исключив для себя 10,
если C не ответит 30 на 3 ходу, исключив для себя 10,
если B не ответит 20 на 2 ходу, исключив равенство для A и C.
Пример 2. Определить количество ходов решения для тройки (24-11-13)
Цепь сведения и логическая формула решения:
A
0 24-11-13 if (!С) a=24; else a=2; // 10
1 2-11-13 if (!B) c=13; else c=9; // 9
2 2-11-9 if (!C) b=11 else b=7; // 8
3 2-7-9 if (!B) c=9; else c=5; // 6
4 2-7-5 if (!C) b=7; else b=3; // 5
5 2-3-5 if (!B) c=5; else c=1; // 3
6 2-3-1 if (!A) b=3; else b=1; // 2
7 2-1-1
Словесная формула решения:
A не ответит на 1 ходу, исключив равенство для B и C,
тогда на 10 ходу A назовет 24, исключив для себя 2,
если C не ответит 13 на 9 ходу, исключив для себя 9,
если B не ответит 11 на 8 ходу, исключив для себя 7,
если C не ответит 9 на 6 ходу, исключив для себя 5,
если B не ответит 7 на 5 ходу, исключив для себя 3,
если C не ответит 5 на 3 ходу, исключив для себя 1,
если B не ответит 3 на 2 ходу, исключив для себя 1.
Добавлено: Пн Мар 17, 2008 3:45 am Заголовок сообщения:
У двух остальных математиков на лбах написаны числа 25 и 25. Глядя на них, первый математик сначала не мог решить 50 у него или 0,но после ответов двух других, которые видели числа 25 и 50 и не могли решить 75 у них или 25, он понял, что если бы у него было 0, любой из двух других математиков сразу же назвал своё число 25, т.к. 0+25 всегда даст только 25. А так как такого ответа не последовало, то первый математик правильно решил, что у него на лбу написано 50!
Добавлено: Пн Мар 17, 2008 3:51 am Заголовок сообщения: RE:KONSTANCIYA
В условии сказано, что каждому на лбу написали по натуральному числу. 0 не натуральное число, т.к. натуральные числа те, которые используются нами при счете - 1, 2, 3 и т.д.
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете голосовать в опросах
FAQ
Поиск
Группы
Профиль
Войти и проверить личные сообщения
Вход
Решил и доказал. Но решение скажу попозже - такая же задача сейчас дана на другой олимпиаде и не хочу публиковать решение раньше того времени, как она пройдет. 
